#1 18. Mai 2008 Hi... Ich hab so meine Probleme mit den Asymptoten der Gebrochenrationale Funktionen... Ich habe als beispiel diese Funktion (x^2+2x-4)/(2x-4) Der Definitionsbereich ist 2.. Weil der Zähler größer als null ist gibt es ne Unterbrechung... So wie rechne ich jetzt die Asymptoten aus? Es muss i-wie mit ner Polynomdivision gehen leider weiß ich net wie... Kann mir jmd helfen? + Multi-Zitat Zitieren
#2 18. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten Ich bezweifle, dass der Def.bereich 2 ist.... weil du bei x=2 den Nenner des Bruches 0 setzt und das darf nicht passieren. Bei 2 ist somit eine "Lücke" im Graphen, da er dort nicht definiert ist. + Multi-Zitat Zitieren
#3 18. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten Ohje, das auch schon wieder bisschen her bei mir, dass ich das das letzte mal gemacht hab ^^ Polynomdivision kannst bei wiki nachschaun wie die funktioniert: Polynomdivision – Wikipedia + Multi-Zitat Zitieren
#4 18. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten Der Definitionsbereich umfasst -unendlich<x<+unendlich, da die Funktion für den Wert x=2 nicht definiert ist (nenner = 0 wie oben erwähnt, kann mit reellen Zahlen nicht definiert werden). Damit hast du eigentlich auch schon die Asymptote, musst nur eine senkrechte Linie durch den Punkt x=2 legen. Die Asymptote ist die Grenze zweier Definitonsbereiche der selben Funktion, in diesem Bereich ist die Funktion wie erwähnt nicht definiert. Duch Polynomendivision findest du die Nullstellen der Funktion. Das kann dir Wikipedia o irgendein Mathebuch besser erklären als ich. + Multi-Zitat Zitieren
#5 18. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten das is nich ganz richtig. die funktion hat an der stelle x=2 eine polstelle. die asymptote kriegt man mit polynomdivision raus. ich hab das mal fix ausgerechnet, die asymptote is y=1/2x+2 + Multi-Zitat Zitieren
#6 18. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten @Horstroad: Wie rechnet man das? bws raus + Multi-Zitat Zitieren
#7 18. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten ergebnis der polynomdivision: (x²+2x-4) : (2x-4) = 0,5x +2 + 4/(2x+4) der ganzrationale teil davon ist die asymptote, also 0,5x+2 der gebrochen rationale anteil, also der bruch 4/(2x+4) ist der abstand zur asymptote in abhängigkeit von x + Multi-Zitat Zitieren
#8 18. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten hmm... wie erklärt man das?!? also es funktionier eig wie die normale schriftliche division. an deiner funktion: du hast zwei polynome, den zähler (x²+2x-4) (-> dividend) und den nenner (2x-4) (-> divisor) jetzt musst du den divisor so erweitern, dass er sich mit den dividend zu null ergänzt. wenn du also (2x-4) mit (1/2)x erweiterst erhälst du (x²-2x). das subtrahierst du jetzt vom dividend ...(x²+2x-4) 2x-4)=(1/2)x ..-(x²-2x) .........4x diesen schritt widerholst du solange, bis der divisor nur noch ein rest ist, der nicht mehr geteilt werden kann. due rweiterst in diesem fall den divisor mit 2: ...(x²+2x-4) 2x-4)=(1/2)x+2 ..-(x²-2x) ..........4x-4 ........-(4x-8) ...............4 dann bist du fertig. das ergebnis der polynomdivision: (x²+2x-4) 2x-4)=(1/2)x+2+4/(2x-4). den rest hat Lady in Black schon erklärt, (1/2)x+2 ist die asymptote. + Multi-Zitat Zitieren
#9 19. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten okay danke an euch alle mal ... =) bw müsste an alle raus sein + Multi-Zitat Zitieren
#10 20. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten hi... hab jetzt ein neues problem .. hab schon im internet rum gekuckt aber nichts wirklich gefunden.. wie bestimmte ich obs ein pol oder eine lücke ist ??? ich hab i-wie wiedersprüchliche aufschreibe ausserden wie erkenne ich obs ein vorzeichenwelchsle hat oder net? + Multi-Zitat Zitieren
#11 20. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten vorzeichenwechsel erkennst du indem du den linksseitigen und den rechtsseitigen grenzwert bildest, den rest muss ich nochmal nachgucken EDIT: also eine polstelle ist eine nicht definierte stelle der funktion. der graph strebt an dieser stell gegen +/- unendlich. eine hebbare definitionslücke ist einfach ein "loch" in einer funktion. der obere und der untere grenzwert an der stell sind gleich. ein bespiel für so eine funktion wäre (x²+2x+1)/(x+1). das hab ich jetzt nur aus wiki und meinem hirn zusammengekratzt... wär nett, wenn das nochmal jmd bestätigen könnte. + Multi-Zitat Zitieren
#12 21. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten Ich kann das bestätigen, was du gesagt hast. Wenn man zum beispiel die tangens-funktion zeichnet, dann sieht man ja schon, dass in regelmäßigen abständen senkrechte asymptoten auftauchen. Wenn man jetzt die Funktion in der Nähe dieser Asymptoten untersucht, dann stellt man fest, dass sie "links" der Asymptote gegen +unendlich und "rechts" gegen -unendlich strebt. Natürlich ist das kein Beweis, sondern nur ein Beispiel, aber ich denke das reicht hier an dieser Stelle. Und deine oben genannte Funktion kann man zum Test ja mal zeichnen, dann sieht man ganz schnell, ob sie nur ein "Loch" hat oder tatsächlich senkrechte Asymptoten. €: mit der oben genannten Fu8nktion meine ich (x²+2x+1)/(x+1) und nicht die tangens-funktion. + Multi-Zitat Zitieren
#13 22. Mai 2008 AW: Gebrochenrationale Funktionen - Asymptoten Polstelle oder behebbare Definitionslücke findet man heraus, indem man sich dem nicht definierten Bereich (in diesem Fall 2) von links und rechts annähet. (Delta Methode) Bedeutet hier: lim f(x)= x²+2x-4 / 2x-4 lim (2+delta)²+2*(2+delta)-4 / 2*(2+delta) - 4 x--> 2+......................................Delta--> 0 (x geht gegen 2 von rechts, somit 2 + delta, da wir ein kleines bisschen größer bleiben müssen, als der Wert der Definitionslücke --> wir setzen also für jedes x (x+delta) ein) Das delta ist hierbei eine unendlich kleine Zahl. Der Trick hierbei ist, dass man in diesem Fall nicht durch 0 dividiert, da das delta einen unendlich kleinen, aber positiven Wert darstellt und somit keine Division durch 0 statt findet. hier als: 4 / ganz, ganz kleine, aber positive Zahl. Teilt man eine Zahl durch einen ganz ganz kleinen Wert, so wird das Ergebnis unendlich groß. Daraus folgt: Bei der Annäherung an die Definitionslücke von der positiven Seite geht die Funktion gegen + unendlich. Nun die annäherung von der negativen Seite: lim f(x)= x²+2x-4 / 2x-4 lim (2-delta)²+2*(2-delta)-4 / 2*(2-delta) - 4 x--> 2-.......................................Delta--> 0 (x geht gegen 2 von links, somit 2 - delta, da wir ein kleines bisschen kleiner bleiben müssen, als der Wert der Definitionslücke --> wir setzen also für jedes x (x-delta) ein) hier bleibt übrig: 4 / ganz, ganz kleine, aber negative Zahl Daraus folgt: Bei Annäherung an die Definitionslücke von der negativen Seite geht die Funktion gegen - unendlich. Daraus können wir folgern, dass es eine Polstelle und keine behebbare Definitionslücke ist! Desweiteren zur Asymtotenbestimmung: folgende Ausgangsgleichung: a*x^n y=---------- b*x^m wenn gilt: n<m, so ist die Asymptote 0 n=m, so ist die Asymptote a/b n>m, so wird die Asymtote über Polynomdivision bestimmt. Diese haben meine Vorredner ja schon erklärt. + Multi-Zitat Zitieren