#1 16. September 2008 Hallo RR-Board, ich habe seit Tagen eine Verständnis Frage mit dem Thema "Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen". Die Klausur in paar Tagen soll dazu dienen, sich nochmal mit dem alten Thema zu befassen und seit der letzter Stunde ist mir Aufgrund der Verlegenheit unseres Lehrers, paar Unklarheiten aufgekommen, was ich gerne vielleicht nochmal erklärt bekommen möchte (von den, die sich damit auskennen). Ein Bsp. Aufgabe (Lösungsergebnis vorhanden): Die Funktion soll auf die Symmetrieeigenschaft geprüft werden, daher gehe ich folgend vor: Mein Ergebnis sieht folgend aus: Das Ergebnis des Lehrers sei: Symmetrisch zur Y-Achse. Allerdings bekam ich auf die Nachfrage keinen Lösungsweg. ---------------------------------------- Die Frage: Wer ist im Recht? Wo ist mein Rechenfehler?
#2 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen so genau weiss ich das leider auch nicht mehr, aber ich glaube mich zu erinnern, dass wenn die zähler und die nennerpotenz unterschiedlich sind, dass dann keine symmetrie vorliegt!! (also im grunde genommen, wie du es schon bei deinem bsp bewiesen hast!!) wenn die zähler/nennerpotenzen gerade sind, dann müsste es sich um punktsymmetrie handeln, sind sie ungerade um axialsymmetrie!! (bei den letzten beiden bin ich mir aber nich mehr hundert % sicher, könnte auch anders rum sein, aber mit den potenzen hatte das schon was zu tun. vllt kann ja hier ein andrer einsetzen ) /edit: wir durften dass in unserem mathe abi (GK) auch so beweisen, und mussten nicht den langen weg gehen, so wie du ihn gemacht hast! das kann aber lehrerabhängig sein...
#3 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Die Vorgehensweise ist schon richtig. Du hast nur falsch eingesetzt. Wenn die Funktion (x²+1)/x³ ist, dann ist dein -f(x) falsch. Das wäre dann einfach: -(x²+1)/x³ Das wäre widerum identisch mit f(-x) und damit liegt hier Zentralsymmetrie vor (Punktsymmetrie zum Koordinaten ursprung) Einfach merken: Bei -f(x) einfach ein Minus vor den Bruch schreiben und gut ist
#4 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Wenn im Zähler und im Nenner nur gerade oder nur ungerade ist, dann ist es ene Achsensymmetrie. Wenn im Zähler nur gerade und im Nenner nur ungerade ist, dann Punktsymmetrie zum Ursprung sowie auch: Wenn im Zähler nur ungerade und im Nenner nur gerade ist, dann Punktsymmetrie zum Ursprung ------------ Alles was diese Regel verlässt, befindet sich nicht mehr in "gebrochener" rationaler Funktionen. Danke schonmal für eine Rückmeldung, würde mich dennoch freuen, falls sich einer genauer daran errinert und mich auf meine Fehler hinweisen kann. mfg
#5 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Es ist ganz einfach, und zwar wenn im Nenner Und im Zähler nur Funktionenteile(nenn ich jetzt ma so^^) mit ungearden Exponenten oder nur graden Exponenten vorkommen, dann ist eine Symmetrie zur 2. Achse(y-Achse) gegeben. Wie z.B.: f(x)= x^4-2x²/x² oder F(x)= x^7+2x^5-x/x^3+5x Beweis: Symmetrie zur 2. Achse(y-Achse) gegebn wenn: f(-x)=f(x) Zur Betrachtung nennen wir eine gebrochen rationale Funktion folgendermaßen: f(x)= Z(x)/N(x) f(-x)= Z(-x)/N(-x) = -Z(x)/-N(x) = Z(x)/N(x) = f(x) Eine Symetrie zum Ursprung ist gegeben, wenn im Zähler und im Nenner unterschiedliche Exponenten vorhanden sind also oben nur grade und unten nur undgearde Exponenten da sind^^. Wie z.B.: f(x)= x^7+2x^5-x/x^4+3x² oder f(x)= x^6+3x²/-3x^3+2x Beweis: Symmetrie zum Ursprung gegebn wenn: f(-x)=-f(x) Zur Betrachtung nennen wir auch hier eine gebrochen rationale Funktion folgendermaßen: f(x)= Z(x)/N(x) f(-x)= Z(-x)/N(x) = -Z(x)/N(x) = - (Z(x)/N(x)) = - f(x) Also deine Funktion ist zur y-Achse symmetrisch und somit hat dein Lehrer recht(wie immer ) Hoffe es ist alles verständlich^^ Und dein Zitat "Die Funktion besitzt keine Symmetrieeigenschaft" ist falsch, da es nur, deiner meinugn nach, keine syymetrie zu dir bekannten vorhanden, es kann aber eine Symmetrie vorhanden zu etwas anderem DAMM ich galub ich habe die Symmetrien vertauscht!!! FU**
#6 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Danke, dann ist mir wiederrum unklar mit wird dieser Nennerpotenz dann auch zu einer negativen Zahl umgewandelt? Da bei der Nennerpotenz negativ ist. //Edit: k bin jetzt bissel verwirrt, der "gfz12" sagt ist Punktsymmetrie und §ephiroth meint Achsensymmetrie.
#7 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen wie gesagt, bin mir nicht mehr so sicher, ist 1. schon etwas her, und 2. hab ich das nie wirklich gut gekonnt... naja wenns falsch ist, dann will ich nix geschrieben haben
#8 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Wenn du f(-x) ausrechnest, bekommst du ja -f(x), der Zähler bleibt bei dir wegen dem Quadrat so, aber der Nenner hat ein Minus. Das Minus kannst du weil es Quotient ist, allgemein auf den Bruch beziehen, und das wäre punktsymmetrisch zum Ursprung. Andere Begründung, dass es keine achsensymmetrie geben kann: der Grad des Nennes ist ungerade, damit ist es eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, wünsch deinem Lehrer viel Spaß wie der das erklären will.
#9 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Ich weis jetzt zwar nicht was da alles vertauscht ist, aber wenn du genauer auf mein Beispiel eingehen würdest und meinen Rechenweg korrigieren könntest, wäre ich dir sehr verbunden, da ich sonst seit der Rote Markierung deine Logik nicht folgen kann. Und unter der grüne Markierung, mir es scheint, entweder am falschen Gleis zu stehen oder du dich tatsächlich irgendwo vertan hast. Für mich leider nicht nachvollziehbar, da im Zähler sowie auch Nenner zwei Zwei unterschiedliche Werte rauskommen. (Blau Markiert)
#10 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Weiso ändert sich bei dir das Vorzeichen der 1? Das ist für mich nicht nachvollziehbar.
#11 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen -(x²+1)/x³ Wenn ich die Funktion ausklammere= entsteht (x²-1)/x³ oder liegt jetzt darin mein Denkfehler ?
#12 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen jo, das wären dann (-x²-1)/x³
#13 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen k, jetzt nach nem kurzen Kaffee gehts wieder ^^ Durch das Einsetzen der Zahlen für das x, bin ich dann auf das gleiche Ergebnis rausgekommen : Punktsymmetrie. Also ist der Lehrer im Unrecht (Ein Doktor ^^ ) ??????????????? Danke, sollte aber irgendwelche Tipps oder Verbesserung noch offen stehen, bin ich auch dafür dankbar, wenn diese mir per PN erteilt werden. BWs gehen raus. mfg
#14 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Erstmal! Hab mir nicht alles durchgelesen^^ So 1. Frage: Müsste ihr das ausm Kopf machen oder dürft ihr einen TR benutzen?! Im TR ist es doch ganz einfach: Symmetrie zur y Achse: f(-x) = f(x) und in dem Fall ist die Funkt. achsensymmetrisch!
#15 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Alles Wichtige wurde hier glaub ich genannt. Jedoch musst du bei gebrochen rationalen Funktionen immer die Definitionsmenge zuerst bestimmen. Denn ist die geborchen rationale Funktion vermeintlich an der Ordinatenachse gespiegelt, die Definitionsmenge ist aber R ohne (3); dann herrscht in diesem Fall keine Symmetrie dazu zwar zu -3 ein Bild vorliegt zu 3 aber keiner.
#16 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Ich versuchs mal einfacher zu erklären: f(x)= [x^2 + 1] / x^3 (Ausgangsfunktion) 1. Du setzt für x=-x ein => f(-x) = [(-x)²+1]/(-x)³ = (x²+1)/-x³ = - [(x²+1)/x³] = - f(x) 2. => f(-x) = - f(x) => Punktsymmetrie zum Ursprung Würde rauskommen f(-x) = f(x), dann wäre f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse
#17 16. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Ja, möchte aber ohne TR Klausur schreiben, bzw solche Kleinigkeiten, die muss ich im Grunde nur verstehen. Kannst den Achsensymmetrie nachweisen? Bissel mehr erläutern? Jeder kommt hier auf ein anderes Ergebnisse raus -.- Es ist ja im Grunde eine abgekürzte Schreibform meinen schriftlichen Gedanken //wenn ich mich nicht täusche?! So steht es auch in den Bücher, aber hier im Forum habe ich es lieber mehr, als weniger. Punktsymmetrie zum Ursprung ist auch mein Ergebnis, aber manche User behaupten das es Achsensymmetrie ist, wie auch der Lehrer: gibts hier einen Pädagogen ? ^^ Ich werde schnellstmöglich den Lehrer erwischen probieren, um sich vor der Klausur nochmal zu erkundigen, denn hier im Forum habe ich verschieden Ergebnisse. Wer sich die Mühe noch macht mich per PN(noch diese Woche z.B.) mit seinem Lösungsweg zu beglückwünschen, dem wär ich sehr dankbar. Ansonsten einen großen Dank für die Mühe der einige User hier- BWs sind draussen und Lösungergebnis wird im nachhinein editiert. Mfg russka
#18 17. September 2008 AW: [Mathematik] Symmetrieeigenschaft gebrochenen rationaler Funktionen Lösungsergebnis: Punktsymmetrie zum Ursprung! //closed