#1 4. November 2008 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017 Hi RR'ler! Hab eine Frage zur Bestimmung der eulerschen Zahl! Könnte mir jemand erklären, warum man diese zwei Zahlenfolgen bildet und was das bringt anschaulich! Hier noch ne kleine info, die man auf den screens nicht sehen kann: anschließend werden für n zahlen von 1 bis 1000000 eingesetzt und man sieht, dass sich beide Zahlenfolgen der eulerschen Zahl annähren (= 2,718....) Hier mal was ich meine: {img-src: http://img114.imageshack.us/img114/4027/bild1tr5.jpg} {bild-down: http://img114.imageshack.us/img114/bild1tr5.jpg/1/w663.png} {img-src: http://img396.imageshack.us/img396/5493/bild2sp0.jpg} {bild-down: http://img396.imageshack.us/img396/bild2sp0.jpg/1/w619.png} Wäre für Hilfe dankbar! eTax
#2 4. November 2008 AW: [MATHEMATIK] Frage zur eulerschen Zahl Ich versuch´s mal zu erklären: Nehmen wir an, wir hätten die Exponentialfunktion: f(x)= 2^x Nun wollen wir die 1. Ableitung bilden: (f(x+h) - f(x))/(x+h-x) = (b^(x+h) - b^x)/h = (b^x * b^h - b^x)/h = (b^x * (b^h - 1))/h = lim(h->0) b^x ((b^h - 1)/h) Dieser Grenzwert existiert und hängt vom b ab. Suchen wir nun eine Basis b, für die gilt: lim(h->0) (g^h - 1)/h = 1 Nehmen wir nun an, h liege nahe bei 0: (b^h - 1)/h = 1 b^h = h + 1 b = (h+1)^1/h sooo und wenn du nun für h möglichst kleine zahlen einsetzt und schaust was bei b rauskommt: h = 0,001 -> b = 2,716923932 h = 0,0001 -> b = 2,718145927 h = 0,0000001 -> b = 2,718281693 dann sehen wir, dass es die zahlen, die für b rauskommen sehr nahe beieinander liegen.. -> Die gesuchte Basis ist also irrational (= eine zahl, doe man nicht im bruch schrieben kann, wie zB auch pi) und hat den besonderen Namen: e = lim(h->0) (1+h)^1/h = 2,718281828.. so kommt man auf die eulerische zahl e = 2,718281828 info: die ableitung der e-fkt ist die e-fkt. ich hoff´ich konnt dir weiterhelfen...
#3 4. November 2008 AW: [MATHEMATIK] Frage zur eulerschen Zahl hmm... ja ok deine erklärung habe ich verstanden aber gibt deine erklärung nicht nur eine hinführung zum grenzwert an? also je kleiner h, desto mehr nährt sich die das ergebnis einer zahl an, der zahl e. aber in dem oben wird nicht mehr im anschluss der grenzwert bewiesen sondern da reicht die intervallschachtelung. da in der beschreibung oben genannt wird, dass man 2 beliebige zahlenfolgen nehmen kann, deren grenzwert = 0 ist, darf man dann z.b. auch 1/5n oder so nehmen? eigentlich ja schon oder? und ist es so, dass man einmal 1/n für x und einmal -1/(n+1) ein damit man sich von oben und unten dem grenzwert näher? könnte man dann genauso auch -1/n als untere grenze und 1/(n+1) als obere grenze nehmen? eTax
#4 5. November 2008 AW: [MATHEMATIK] Frage zur eulerschen Zahl Seine Erklärung zur Hinführung zum Grenzwert ist ja auch völlig korrekt. Es ist mathematisch, als auch empirisch bewiesen, dass lim (n-> unendl.) (1+ 1/n)^n = e Du kannst n auch gegen minus unendlich laufen lassen. Verbal gedeutet: Wenn du auf die 1 eine sehr kleine Zahl aufaddierst, welche sich mit zunehmendem n ergibt, wird sich der Wert nur minimal ändern. Da jedoch diese Zahl n mal mit sich selber multipliziert wird, wächst diese auf über das Doppelte an, strebt jedoch gegen diesen Grenzwert e weil zwar der Exponent immer größer wird, die innere Funktion jedoch immer kleiner wird.
#5 9. November 2008 AW: [MATHEMATIK] Frage zur eulerschen Zahl danke soweit! hat mir sehr geholfen! bws sind raus -CLOSED-