min-max aufgabe

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von annac, 3. Mai 2009 .

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  1. 3. Mai 2009
    hi leute, hab am Di einen test, für den ich min-max aufgaben lösen muss.
    so wie das folgende beispiel, wird auch ein testbeispiel aussehn.
    also:

    auf der ellipse x^2 + 4*y^2 = 100 seien die beiden Punkte A= (-8, -3) und B= (8,3) gegeben. finden sie einen punkt C= (x(c), y(c)) auf der ellipse, sodass der flächeninhalt des innerhalb der ellipse liegenden dreiecks ABC maximal wird.

    abgeblich soll das weiterhelfen:
    Fläche eines Parallelogrammes das von den vektoren a und b aufgespannt wird:
    F= |a|*|b|*cos(α) = |a*b'| = a1*b2 - a2*b1

    b' = b(ortogonal)
    a1 = x-komponente vom vektor a
    usw..

    mein problem ist es, die nebenbedingung für die Dreiecksfläche aufzustellen.
    den rest ausrechen ist nicht schwer...

    danke für jede hilfe,
    Lg annac
     
  2. 3. Mai 2009
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    AW: min-max aufgabe

    Die Aufgabe ist etwas trickreicher. Ich habe erstmal die Punkte in Polarkoordinaten parametrisiert:

    x = r cos φ; y = r sin φ

    Setzt man das oben ein, so bekommt man eine Beziehung für r(φ):

    r²cos²φ + 4 r²sin²φ = 100 --> r = 10 / Sqrt(cos²φ + 4 sin²φ) = 10 / Sqrt(1 + 3 sin²φ)

    Die Punkte der Ellipse ergeben sich dann aus der Gleichung:

    P(φ) = {r(φ) cos φ, r(φ) sin φ} (Vektor mit 2 Komponenten)

    Jetzt brauchen wir die Fläche in Abhängigkeit von φ. Die Fläche eines Parallelogramms berechnet sich über das Kreuzprodukt der aufspannenden Vektoren, das eines Dreiecks dann aus der Hälfte:

    a = {-8, -3}; b = {8, 3}; c = P(φ)

    F(φ) = |1/2 (b - a) x (c - a)|

    Das das Kreuzprodukt nur im R³ definiert ist, müssen wir unsere Vektoren erweitern. Die Fläche ist dann die dritte Komponente des Ergebnisses, da die ersten beiden Null sind. Ich arbeite hier extra nicht mit dem Betrag, da sonst die Ableitungen sehr hässlich werden:

    F(φ) = {8, 3, 0} x {r(φ) cos φ + 8, r(φ) sin φ + 3, 0} (3. Komp) = 8 r(φ) sin φ - 3 r(φ) cos φ

    Das müssen wir ableiten:

    G(φ) = d/dφ F(φ) = 40 (2 cos φ + 3 sin φ ) / Sqrt(1 + 3 sin²φ)³

    Null setzen:

    G(φ) = 0 --> 2 cos φ + 3 sin φ = 0 --> 2/3 = -tan φ --> φ = arctan -2/3

    --> φ1 = -0.588003 (in rad)

    und die um Pi verschobene Lösung, da wir uns auf einem Intervall von 2 Pi bewegen und arctan nur auf einem Intervall von Pi definiert ist:

    --> φ2 = 2.55359 (in rad)

    Mit den Punkten:

    P(φ1) = {6, -4}
    P(φ2) = {-6, 4}

    Und den Flächen:

    P(φ1) = -50
    P(φ2) = 50

    Plotter man die Funktionen so ergibt sich:
    Bild
    F blau, G rot

    EDIT: hab nochmal das Null setzen von G(φ) ergänzt, dann fällt das nicht so vom Himmel
     
  3. 3. Mai 2009
    AW: min-max aufgabe

    danke man, habs verstanden. obwohl ich anders rechnen müsste. bei mir wird die Methode der Lagrange-multiplikatoren verlangt.

    edit: falls es jemanden interessiert, ich habs auf die mit der lagrange methode durchgerechnet.
    ist fast ein bisschen einfacher ;-)

    Fläche Parallelogramm = (B-A) x (C-A) = B x C
    (8, 3, 0) x (x, y, 0) = 8y -3x

    f(x, y) = 8y -3x
    φ (x, y) = x² + 4y² - 100

    --> F (x, y, λ) = 8y - 3x + λ*(x² +4y² -100)

    I) dF/dx = -3 +2λy = 0
    II) dF/dy = 8 +8λx = 0
    III) dF/dλ = x² + 4y² -100 = 0

    I) 3/(2x) = λ
    II) -1/y = λ
    gleichsetzten

    y= -3x/2
    einsetzen in III)

    x² + 4/(2x/3)² - 100 =0

    x = +- 6
    einsetzten in III)
    y = -+ 4

    mittels impliziertem differenzieren findet man y''(x) = -2.6... für x=+-6 und y=-+4
    daraus folgt: maximum
     
  4. Video Script

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