Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von klaiser, 30. September 2009 .

Schlagworte:
  1. 30. September 2009
    Ich weiß einfach nicht genau wie ich diese Aufgabe beweisen soll. Ich habe mir 2 Alternativen ausgedacht und würde gerne wissen ob sie überhaupt als Beweis zählen.

    Beweise:

    | L x K | = |L | * | K |

    1) L = { 1, 2 } & K = { 3, 4 }

    einsetzen:

    L x K = { (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) } damit ist | L x K | = 4
    L = { (1) , (2) } damit ist |L | = 2
    K = { (3) , (4) } damit ist |K | = 2

    einsetzen in Gleichung:

    4 = 2 * 2

    4 = 4

    oder (geht das übrhaupt??)

    | L x K | = |L | * | K | / |K|

    | L x K | / | K | = |L| // K kürzen

    |L | = | L | ?

    Ich würde gerne wissen ob dies überhaupt ansatzweise ein Beweis darstellt. Leider hatte ich bis jetzt kaum Beweise in Vorlesungen gehabt. Bitte keine Musterlösung vorgeben vielleicht ein paar Tipps dazu bzw. wie man ein Beweis richtig aufstellt und evtl zu Lösung kommt.

    Bewertung ist Ehrensache.

    klaiser
     
  2. 1. Oktober 2009
    AW: Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

    Ich sehe zwar jetzt nicht ganz wieso das ein "Beweis" sein sollte, weil du letztlich nur die Eigentschaft von 2 speziellen (!) Vektoren berechnest, aber in der Tat funktioniert deine 1. Version.
    Das ganze nennt man konstruktiven Beweis:
    du setzt deine (vermutete) Lösung ein & es klappt, da kann sic keiner beschwehren.

    Bei der 2. Geschichte fehlen noch einige viele Begründungen, d.h. wieso darf man denn mit K "kürzen": ist K ungleich 0 !?
    & Wie ziehst du das K ins Kreuzprodukt rein ...
     
  3. 1. Oktober 2009
    AW: Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

    also beim 2. blick ich auch nicht so richtig durch.. schreib mal wieso du was machst bitte..

    und zum 1.: du hast es für 2 spezielle K und L bewiesen.. aber nicht allgemein! Es ist auch kein konstruktiver Beweis, da du ja nicht alle Möglichkeiten konstruiert hast, sondern nur |L| = |K| = 2


    meine Idee wäre, zu sagen, dass L x K ja die Menge der möglichen Paare aus L und K ist, und dann folgern, dass die Anzahl der Möglichkeiten (also |L x K|) das Produkt von l Elementen * k Elemente ist (also |L| * |K|)... musst das halt mathematisch korrekt aufschreiben^^

    vllt könnte mans auch graphisch machen:


    __......k1....|.....k2....|.....k3.....
    l1 | (l1, k1) | (l2, k2) |
    l2 | (l2, k1) | ........... |
    l3 |
    l4 |
    l5 |
    ... |
    ... |
    ... |


    .. und die Paare sind dann genau n mal m (bei |L|=n, l1 - ln € L; |K|=m, k1 - km € K)
    (€ soll das Elementzeichen sein^^, also Element von)
     
  4. 2. Oktober 2009
    AW: Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

    Musst du nun die Gleichung |L x K| = |L| * |K| beweisen oder das Ganze mit speziellen Vektoren zeigen!? Weil diese Aussage gilt im Allgemeinen nicht: dazu muss der Winklen zwischen den beiden Vektoren doppelte Vielfache von PI/2 sein, sprich 90° etc. [siehe Lagrange-Identität]
    D.h.: die Sache gilt nur für linear abhängige Vektoren ...
    Zudem stimmt auch deine Rechnung nicht: |K| = | (3,4) | = 5 (euklidische Norm).
     
  5. 2. Oktober 2009
    AW: Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

    Nur Beweisen, die Mengen sind endlich. (habe ich vergessen zu erwähnen )

    Wüsste echt nicht wie ich das sonst zeigen/beweisen könnte.
     
  6. 2. Oktober 2009
    AW: Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

    Wie gesagt, du kannst das nur beweisen, wenn der Winkel zwischen deinen beiden Vektoren 90° ist, da gilt:
    Bild
    Der Sinus muss gleich eins sein, damit deine zu beweisende Gleichung erfüllt ist ...
    Schätze, dass man diese Gleichung benutzen darf!?

    So & jetzt bist du an der Reihe: schätzungsweise kann man da jetzt bissl mit den Eigenschaften des Kreuzprodukts bzw. Determinanten rumspielen & dann sollte das stehen, was rauskommen soll !
    Zur Not beide Gleichungen umformen bis was gleiches da steht !
     
  7. 2. Oktober 2009
    AW: Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

    @Fragensteller:

    Welche Mengen sind hier endlich? Im Allgemeinen solltest du dir merken, dass für einen Beweis es niemals ausreicht ein Beispiel mit dem das funktioniert durchzurechnen. Für einen Gegenbeweis hingegen reicht es aus ein Beispiel zu finden, welches nicht funktioniert.

    Wie oben schon erwähnt wurde gilt deine Gleichung nur für bestimmte Winkel zwischen den Vektoren. Hast du uns etwas verschwiegen?
     
  8. 2. Oktober 2009
    AW: Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

    Das ist das Problem, leider steht nur das was ich geschrieben habe. Es gibt keinen Winkel dabei.

    Bild

    Wie kann ich das beweisen? (ich habe leider kaum Erfahrungen damit!)

    Das bedeutet ja das |l x K| ungleich |L|*|K| ist.
     
  9. 2. Oktober 2009
    AW: Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

    Dann ist die Aufgabe aber komisch.
    Dass das gilt was du geschrieben hast im letzten Post, kann man so wohl eher schlecht beweisen. Ist auch eine Definitionsfrage des Kreuzproduktes, ist einfach so würde ich mal sagen (man operiert ja bei Winkeln höchstwahrscheinlich in euklidischen Räumen). Ich glaube auch nicht, dass es Sinn der Aufgabe war diese Identität zu beweisen.
    Also, ich kann dir nur sagen, dass es im Allgemeinen nicht gilt, was verlangt war. Was du nun eigentlich in der Aufgabe machen sollst, kann dir wohl keiner sagen, weil es eben, wie gesagt, nicht allgemein gilt.

    Hinweis zum Verständnis:

    Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist anschaulich der Vektor, der senkrecht auf den anderen beiden steht und die Länge, also den Betrag hat, der gleich dem Flächeninhalt, der von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist. Du siehst also, dass der Betrag von axb gleich dem Flächeninhalt ist, und der ist nur a*b genau dann, wenn die beiden Vektoren ein Rechteck aufspannen. (Was der Fall ist, wenn alpha = 90 °) Damit siehst du auch, dass die Beziehung nur für diese Spezialfälle gilt.
     
  10. 2. Oktober 2009
    AW: Beweis von Kreuzprodukt-Aufgabe

    Echt super erklärt von dir. Vielen Dank. Ich werde wohl den Prof noch einmal danach fragen, ich hoffe ich sehe ihn vor Mittwoch nochmal.
     
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