Vollständige Version anzeigen : Lineare Algebra- Gruppenhomomorphismus


SleepingDog
28.10.2009, 18:21

Also, muss bis Freitag paar Aufgaben in Linearer Algebra lösen, leider hab ich da absolut keinen durchblick... Habe mir jetzt ein Buch bestellt aber das wird bis Freitag nicht da sein, deshalb bin ich unbedingt auf die Hilfe einiger schlauer Köpfe unter euch angewiesen...

Es geht um Gruppenhomomorphismen, ich habe leider absolut keine Ahnung wie ich ran gehen soll. Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!

1)

Sei G eine Gruppe und g € G ein Element. Sei f: G-> G die Abbildung "Konjugation durch g", d;h. f(a) =gag^-1 für jedas a € G. zeigen Sie, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist.

2)

Sei f: G->H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

a) f bildet das neutrale Element von G auf das neutrale Element von H ab.

b) f bildet das Inverse von x€ G auf das Inverse von f(x) €H ab.

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prof. moriarty
29.10.2009, 10:55

Also das sind normalerweise Standardaufgaben, ich schaue mal was ich aus dem Stehgreif noch hinbekomme:

1) z;z. ist ja nur, dass f(ab)=f(a)f(b). Also: f(a)f(b)=gag^-1gbg^-1 = gabg^-1 =f(ab)


2)
a) e sei das neutrale Element von G und e' von H. Dann gilt: f(e) = f(ee)= f(e)f(e). Daraus folgt die Behauptung.

b) f(x)f(x^-1) = f(xx^-1)=f(e)=e'. -> (f(x))^-1 = f(x^-1)


SleepingDog
29.10.2009, 17:07

Wow, also ich danke dir schonmal vielmals!
Hoffe das stimmt so :P
Die neutrale zahl e muss ich in diesen Beweis garnicht mit integrieren?


prof. moriarty
29.10.2009, 17:17

Wenn du bei 1) meinst nicht, denn Gruppenhomomorphismen haben ja die Eigenschaft f(e)=e' wie bei 2) gezeigt.
Sonst noch was unklar?

Edit:

Wenn du bei 2a) meinst, du operierst bei f(e)f(e) = f(e) ja auf H, wenn du von links oder rechts mit (f(e))^-1 multiplizierst, d;h. du bekommst (f(e))^-1f(e)f(e) = (f(e))^-1f(e) <=> e' f(e) = e' <=> f(e) = e'


SleepingDog
29.10.2009, 17:24

Jo meinte bei erstens, danke nochmal für die schnelle Antwort, bist der Beste :P


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