Vollständige Version anzeigen : Lineare Algebra- Gruppenhomomorphismus


SleepingDog
28.10.2009, 17:21

Also, muss bis Freitag paar Aufgaben in Linearer Algebra lösen, leider hab ich da absolut keinen durchblick_.. Habe mir jetzt ein Buch bestellt aber das wird bis Freitag nicht da sein, deshalb bin ich unbedingt auf die Hilfe einiger schlauer Köpfe unter euch angewiesen_..

Es geht um Gruppenhomomorphismen, ich habe leider absolut keine Ahnung wie ich ran gehen soll. Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!

1)

Sei G eine Gruppe und g € G ein Element. Sei f: G-> G die Abbildung "Konjugation durch g", d_h. f(a) =gag^-1 für jedas a € G. zeigen Sie, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist.

2)

Sei f: G->H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

a) f bildet das neutrale Element von G auf das neutrale Element von H ab.

b) f bildet das Inverse von x€ G auf das Inverse von f(x) €H ab.


prof. moriarty
29.10.2009, 09:55

Also das sind normalerweise Standardaufgaben, ich schaue mal was ich aus dem Stehgreif noch hinbekomme:

1) z_z. ist ja nur, dass f(ab)=f(a)f(b). Also: f(a)f(b)=gag^-1gbg^-1 = gabg^-1 =f(ab)


2)
a) e sei das neutrale Element von G und e' von H. Dann gilt: f(e) = f(ee)= f(e)f(e). Daraus folgt die Behauptung.

b) f(x)f(x^-1) = f(xx^-1)=f(e)=e'. -> (f(x))^-1 = f(x^-1)


SleepingDog
29.10.2009, 16:07

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Lineare Algebra- Gruppenhomomorphismus
Wow, also ich danke dir schonmal vielmals!
Hoffe das stimmt so :P
Die neutrale zahl e muss ich in diesen Beweis garnicht mit integrieren?


prof. moriarty
29.10.2009, 16:17

Wenn du bei 1) meinst nicht, denn Gruppenhomomorphismen haben ja die Eigenschaft f(e)=e' wie bei 2) gezeigt.
Sonst noch was unklar?

Edit:

Wenn du bei 2a) meinst, du operierst bei f(e)f(e) = f(e) ja auf H, wenn du von links oder rechts mit (f(e))^-1 multiplizierst, d_h. du bekommst (f(e))^-1f(e)f(e) = (f(e))^-1f(e) <=> e' f(e) = e' <=> f(e) = e'


SleepingDog
29.10.2009, 16:24

Jo meinte bei erstens, danke nochmal für die schnelle Antwort, bist der Beste :P




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