Produktregel -> Zusammenfassen

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von Das Omen, 21. März 2010 .

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  1. 21. März 2010
    Guten Tag,

    ich habe hier gerade ein Problem, und zwar habe ich
    f(x)=2x*(x²+3)^(1/2)
    abgeleitet zu
    f'(x)=2*(x²+3)^1/2+2x/(x²+3)^(1/2)
    und möchte das ganze weiter zusammenfassen,
    laut der Lösung sollte
    (4x²+6)/((x²+3)^(1/2))
    rauskommen.

    Wie komme ich hier weiter?

    Mit freundlichem Gruß,
     
  2. 21. März 2010
    AW: Produktregel -> Zusammenfassen

    Deine Ableitung stimmt noch nicht so ganz.
    Du hast: f'(x)=2*(x²+3)^1/2 + 2x/(x²+3)^(1/2)
    ich habe: f'(x)= 2*(x²+3)^1/2 + 2x^2/[(x²+3)^(1/2)]

    Der erste Summand ist korrekt. Im zweiten hat sich ein Fehler eingeschlichen.
    Das kommt durch die innere Ableitung von: (x²+3)^(1/2)
    Die ist ja 2x. Und dann musst du ja noch mit dem 2x aus dem Anfangsprodukt multiplizeren.
    Macht 2x*2x=4x^2
    Da bei der Ableitung von x^(1/2) ja immer 1/(2x^(1/2)) rauskommt, kann man dann die zwei mit der vier kürzen.
    Soweit erstmal mtgekommen?

    Gruß

    EDIT:
    Und dann weiter umformen:
    - Hauptnenner bilden (ist (x^2+3)^(1/2))
    - und den ersten Summanden mit Hauptnenner erweitern
    - dann hast du 2*(x²+3)^1/2*(x²+3)^1/2/[(x²+3)^(1/2)] + 2x^2/[(x²+3)^(1/2)]
    - daraus ensteht: 2*(x^2+3)/[(x²+3)^(1/2)] + 2x^2/[(x²+3)^(1/2)]
    - jetzt hast du zwei Summanden mit gleichem Nenner. D.h. du kannst die Summanden in einem Bruch zusammen ziehen und ausrechnen
    - das wäre dann das richtige Ergebnis: (4x²+6)/((x²+3)^(1/2))
     
  3. 21. März 2010
    AW: Produktregel -> Zusammenfassen

    Mooment
    f(x)=2x*(x²+3)^(1/2)

    Somit ist bei einer allgemeinen Formel von
    f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
    mein
    u(x)=2x
    u'(x)=2
    v(x)=(x²+3)^(1/2)
    v'(x)=1/(2*(x²+3)^(1/2))

    Also f'(x)=2*(x²+3)^(1/2) + x/((x²+3)^(1/2)))

    Soweit müsste es stimmen, ich habe im 2. Summanden die "2" gekürzt.
    Jetzt ist mein Problem, dass ich das nicht weiter vereinfachen kann, um zu der Musterlösung zu kommen.

    Meinst du jetzt, mein v'(x) sei falsch?

    MfG,
    Das Omen
     
  4. 21. März 2010
    AW: Produktregel -> Zusammenfassen

    Und genau das ist falsch. Sorry, dass ich dir das sage, aber es ist halt so
    Dein v' ist falsch berechnet. Das musst du mit der Kettenregel machen.

    { g(f[x]) }' = g'(f[x]) * f'(x)
    Also zuerst die äußere Funktion ableiten (in unserem Falle ist das (...)^(1/2) -> 1/2*(...)^(-1/2)) und dann noch die innere Ableitung dazumultiplizieren.
    Die innere "Funktion" ist x^2+3 -> 2x

    Wenn du es nachrechnen lassen willst:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x*%28x%C2%B2%2B3%29^%281%2F2%29
    Ganz unten unter "Derivative" steht das Ergebnis der Differensation.
     
  5. 21. März 2010
    AW: Produktregel -> Zusammenfassen

    Ist doch ganz einfach:

    f(x) = 2x wurz(x² +3)

    f`(x) = 2 * wurz(x²+3) + 2x * 2x * 1/2 * 1/ wurz (x²+3)

    1. Vereinfachung

    f´(x) = 2wurz (x²+3) + (4 x² / 2*wurz(x²+3))

    den Linken teil auf den Nenner wurz 2(x² +3) erweitern

    f`(x) = ( 2wurz (x² +3) * 2wurz (x² +3) / 2wurz (x² +3) )+ (4 x²/ 2wurz(x²+3) )

    Sooo da nun der Wurzelausdruck multipliziert wird.

    f´(x) = ( 4x² + 12 / 2wurz (x² +3) ) + ( x²/2 wurz(x²+3) )

    Zusammenfassen da selber Nenner

    f´(x) = 8x² + 12 / 2wurz(x²+3)

    nun durch 2 kürzen

    f´(x) = 4x + 6 / wurz(x²+3)


    Ist jetzt sehr sehr ausführlich^^ naja und wurz(x²+3) lässt sich halt als (x²+3)^1/2 darstellen...
     
  6. 22. März 2010
    AW: Produktregel -> Zusammenfassen

    Herzlichen Dank euch, ihr habt mir sehr geholfen.
     
  7. Video Script

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