Konvergenz und Grenzwert

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von unleashed, 10. Mai 2011 .

Schlagworte:
  1. 10. Mai 2011
    Hi,

    hab hier eine Aufgabe, bei der man bestimmte Folgen auf Konvergenz überprüfen soll.
    hab schon ne halbe Std. gegoogled, aber die Erklärungen haben mir nicht wirklich weitergeholfen.

    hier die Aufgabenstellung und eine Teilaufgabe:

    Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

    Code:
    a{n} = 1 - 5n³
     -------
     4n² - 1
    So, da ich aus google nicht schlau geworden bin, wäre es schön, wenn mir jemand anschaulich die Vorgehensweise einfach erklären kann.

    //Das n in den {} Klammern soll tiefgestellt sein.

    Danke schonmal, BW is selbstverständlich!

    MfG
     
  2. 10. Mai 2011
    AW: Konvergenz und Grenzwert

    Naja, der Trick ist: die höchste fruchtbarkeit vorklammern, das sieht dann in etwa so aus:

    Bild

    Dann hat man nämlich die einzelnen Terme im Griff;
    nun lässt man n bei dem letzten Term gegen Unendlich laufen.

    Du weißt (hoffentlich), dass 1/n gegen 0 geht.
    Naja, das würde aber heißen, dass dein Zähler gegen -5 & dein Nenner gegen 0 gehen.
    Du darfst jedoch keine 0 im Nenner haben (kein Problem, da die auch NIE wirklich erreicht wird).
    Was heißt es, wenn du quasi eine feste negative Zahl im Zähler hast & der Nenner gegen 0 geht, naja: die Zahl wird größer, immer größer, sprich unendlich (negativ) groß, d.h.
    deine Folge strebt gegen - Unendlich.

    Soweit so gut? Noch Fragen?

    *edited*
     
  3. 10. Mai 2011
    AW: Konvergenz und Grenzwert

    Ganz grob kannst du davon ausgehen, dass die Funktion für lim n->inf gegen unendlich geht, sobald der Grad im Zähler größer als der Grad im Nenner ist und gegen Null geht, wenn der Grad im Nenner größer ist als der Grad im Zähler. Einfach die höchste im Nenner UND Zähler vorkommende fruchtbarkeit ausklammern und kürzen und du kannst das Ergebnis direkt ablesen. Eine Alternative wäre das Minoranten-/Majorantenkriterium mit der sich solche Folgen abschätzen lassen. Ist vom Prinzip aber sehr ähnlich.
     
  4. 12. Mai 2011
    AW: Konvergenz und Grenzwert

    Der Zähler geht doch gegen -5, oder?

    Da ja 1/n³ gegen 0 geht und dann 5 subtrahiert wird, oder sehe ich das falsch?

    In dem Fall würde der Grenzwert der Folge nämlich gegen -inf streben.

    MfG
     
  5. 12. Mai 2011
    AW: Konvergenz und Grenzwert

    Richtig, die Folge geht im unendlichen gegen -inf.
    sprayman hat die Vorgehensweise ansonsten ganz gut veranschaulicht.

    Hier kann das Ergebnis auch nochmal nachgeprüft werden:
    Grenzwertberechnung: lim(1 - 5n&sup3 /(4n²-1) - Wolfram|Alpha


    Gruß
     
  6. 12. Mai 2011
    AW: Konvergenz und Grenzwert

    Jepp, hast recht: mein Fehler.
    Oder ich könnte in alter Lehrer-Manie sagen, dass hab ich bewusst gemacht, damit du den Fehler siehst/merkst
    Also alles verstanden? Sehr Schön!
     
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