Stetigkeit: Bild(f) = W ???

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von $$$moq, 25. Januar 2012 .

  1. 25. Januar 2012
    Hallo Leute,

    hab nur eine kleine Frage: Angenommen der Graph f ist stetig. Kann man dann daraus sofort schließen dass das Bild(f) = W ist? W entspricht dem Wertebereich.

    Es geht mir darum, dass ich beweisen muss das Bild(f)=W ist. Gibts da noch andere Methoden?


    Grüße,
    $$$moq
     
  2. 26. Januar 2012
    AW: Stetigkeit: Bild(f) = W ???

    Wenn eine Funktion stetig ist, dann folgt daraus keineswegs, dass Bild(f) = W sein muss. Definiere beispielsweise f: R -> R durch f(x) = x^2. Diese Funktion ist zweifelsohne stetig, allerdings ist Bild(f) nur die Menge aller nicht-negativen reellen Zahlen, hingegen W = R.

    MfG
     
  3. 26. Januar 2012
    AW: Stetigkeit: Bild(f) = W ???

    ja stimmt, ist mir auch schon aufgefallen. gibt es auch funktionen die nicht stetig sind, wo bild(f)=W ist?

    Wenn ich die funktion x^2 mit [0,2]->[0,4] betrachte, ist sie ja stetig, streng monton steigend und bild(f)=W (kann man ja quasi am graphen sehen).

    wie kann ich den sinnvoll argumentieren, dass in diesem fall bild(f)=W ist? hätte jetzt gesagt dass durch stetigkeit und die strenge monotonie klar ist, das der niedrigste funktionswert 0²=0 am beginn des intervall liegt und der höchste funktionswert 2²=4 ganz rechts am intervall und das die fkt dadurch alle werte dazwischen annimmt. -> bild(f)=W

    wie kann man bei nicht monotonen funktionen argumentieren das bild(f)=W ist?
     
  4. 26. Januar 2012
    AW: Stetigkeit: Bild(f) = W ???

    Natürlich gibt es auch nicht-stetige Funktionen, bei denen Bild(f) = W gilt. Definiere beispielsweise f: R -> {0,1} durch f(x) = 0, wenn x irrational ist und f(x) = 1 sonst.

    Bei deinem Beispiel reicht es meiner Meinung nach zu zeigen, dass Bild(f) = [0,4] ist. Dazu könntest du Monotonie und den Zwischenwertsatz benutzen (falls ihr das so genau begründen müsst). Bei nicht-monotonen Funktionen könntest du den Definitionsbereich in mehrere Intervalle, auf denen die Funktion monoton ist, aufteilen und dann analog argumentieren.

    MfG
     
  5. 26. Januar 2012
    AW: Stetigkeit: Bild(f) = W ???

    Okay ich danke dir. Jetzt ist mir einiges klarer und meine Fragen sind alle lückenlos beantwortet. So bald ich kann werde ich auch deinen zweiten Beitrag noch bewerten

    Grüße,
    $$$moq
     
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