#1 18. März 2012 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 15. April 2017 Hallo zusammen, ich bin total verzweifelt. Ich stehe vor meiner letzten Vorabiklausur und versuche schon seit 2 Stunden diesen Mist hier zu verstehen. Wir haben in den letzten Wochen Lineare Abbildungen beschprochen und nun sollen wir darstellen, ob es such um lineare oder nicht lineare Abbildungen handelt. Dabei muss man zwei Bedingungen austesten und wenn einer dieser beiden nicht stimmt, ist die Abbildung nicht linear. Das habe ich bisher verstanden. Allerdings verstehe ich nicht, wie ich die Bedingungen bei den Vektoren anwende. Bedingung 1: f(v1)+f(v2)=f(v1+v2) Bedingung 2: r*f(v)=f(r*v) Über dem v muss noch der Vektorpfeil! Wir haben auch ein paar Aufgaben zum Lösen bekommen, aber ich verstehe einfach nicht, wie ich die Bedingungen darauf anwende. {img-src: //h9.abload.de/img/matheaufgaben7yb1.jpg} Wäre super nett, wenn mir einer kurz eine Aufgabe davon vorrechnen würde. BW und nen Wunschupp sind euch sicher! + Multi-Zitat Zitieren
#2 18. März 2012 Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017 AW: Lineare Abbildungen Hab dir mal beispielhaft die erste Aufgabe gerechnet. Ich hoffe, du siehst jetzt wie das ganze läuft. Du musst einfach gucken, ob die Bedingungen erfüllt sind. Also wenn du die Funktion auf v_1+v_2 anwendest, muss das selbe rauskommen, wie wenn du sie auf v_1 und v_2 separat anwendest und dann die Ergebnisse addierst. Selbes Spiel mit der zweiten Bedingung f(rv) = rf(v). Die Bedingungen sind also erfüllt, also ist es eine lineare Abbildung. //EDIT: ups, war noch ein Vorzeichenfehler drin. Hab ihn korrigiert + Multi-Zitat Zitieren
#3 18. März 2012 AW: Lineare Abbildungen Vielen Dank erstmal! Die erste Zeile ist mir klar, aber woher kommt das "-" vor dem (z1+z2)? bzw. auch in der zweiten Zeile. Gibt es eigentlich einen rechnerischen Unterschied zwischen R²->R³ oder R³->R ? + Multi-Zitat Zitieren
#4 18. März 2012 AW: Lineare Abbildungen Hey Das Minus steht da, weil die Funktion b den Vektor auf x+y-z abbildet, also einfach nur nach Definition. Bei R^2->R^3 haste halt links einen Vektor mit 2 Einträgen und Rechts einen mit 3, aber vom System der linearen Abbildungen macht das keinen Unterschied welche Dimensionen das links oder rechts hat. + Multi-Zitat Zitieren
#5 18. März 2012 AW: Lineare Abbildungen Hmm. Wenn man das Ganze nämlich ausmultipliziert, dann wäre es ja per addition verknüpft. Kannst du mir das nochmal bitte erklären? + Multi-Zitat Zitieren
#7 18. März 2012 AW: Lineare Abbildungen Die Abbildungsvorschrift lautet {bild-down: http://mathbin.net/equations/90871_0.png} , die z-Komponente ist in dem fall {bild-down: http://mathbin.net/equations/90872_0.png} , also steht da entsprechend {bild-down: http://mathbin.net/equations/90873_0.png} . PS: Wer ist für nen Tex-Mode hier im Forum?^^ + Multi-Zitat Zitieren
#8 18. März 2012 AW: Lineare Abbildungen Ich blick hier gar nicht mehr durch... Nochmal von vorne. Wir setzen den R³ in die Formel ein, warum auch immer wird daraus dann x1, y1 und z1. soweit klar. aber jetzt verstehe ich die zweite zeile nicht mehr. Es tut mir überaus leid, dass ich mich hier so dumm anstelle, aber ich krieg es einfach nicht auf die Reihe + Multi-Zitat Zitieren
#9 18. März 2012 AW: Lineare Abbildungen -idur- hat die doch schon wunderbar vorgerechnet wie du die beiden Bedingungen anhand der ersten Abbildung überprüfst. Mach Dir bewusst, dass diese Abbildungen Vektorräume, also Räume in denen die Vektoren "leben", sprich entweder eindimensional, also auf einer Zahlengerade, oder zweidimensional, also auf einer Ebene, oder eben dreidimensional, in einem Raum (daher nennt man das Vektorräume). Wenn die Abbildungen linear sind, befolgen die eben diese beiden Bedingungen & die gilt es zu prüfen, d.h. du musst zB bei der zweiten Aufgabe, einen zweidimensionalen Vektor auf einen dreidimensionalen "schicken" usw. Leider sehe ich dein Problem auch nicht, versuch doch einfach mal die beiden Bedingungen an den anderen Aufgaben, nach Schema von -idur-, zu überprüfen, du gehst also von einem in den anderen Raum & wieder zurück ... + Multi-Zitat Zitieren
#10 19. März 2012 AW: Lineare Abbildungen Was meinst du mit "Wir setzen den R³ in die Formel ein"? Verstehst du überhaupt, was die einzelnen Teile der Abbildung bedeuten? * b ist der Name der Funktion * R³ -> R bedeutet, dass die Abbildung ein Element vom R³ in den R abbildet, d.h. ein dreielementiger Vektor wird in einen Skalar abgebildet. * (x y z) -> x + y - z: Das hier ist die eigentliche Abbildungsvorschrift. Ein Vektor des R³ mit den Komponenten x, y und z wird abgebildet auf ein Skalar, in dem man die x- und y-Komponente addiert und dann die z-Komponente abzieht. Wenn dir das nicht klar ist, dann verstehst du den Rest auch nicht. -idur- hat das ganze dann auch sehr schön erklärt. Um Linearität nachzuweisen müssen die beiden Bedingungen erfüllt sein, die du angegeben hast: Bei Bedingung eins sind v1 und v2 Elemente aus R³. Bei Bedingung zwei ist r ein Skalar (!), v ist ein Vektor aus dem R³. Um also Bedingung eins zu überprüfen nimmt man zwei beliebige Vektoren aus dem R³. In -idur-s Fall eben v1=(x1 y1 z1) und v2=(x2 y2 z2). x1, y1, z1, x1, y2, z2 ist dabei ein Skalar aus dem R. Und dann setzt man einfach ein, so wie es dargestellt ist. Vektoraddition wirst du ja noch hinbekommen oder? Und eine Funktion auszuwerten sollte auch nicht so schwer sein + Multi-Zitat Zitieren