[Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

Dieses Thema im Forum "Schule, Studium, Ausbildung" wurde erstellt von FuuFuu1337, 5. April 2012 .

Schlagworte:
  1. 5. April 2012
    Hallo, wenn ich ein Integral einer Summe habe, darf ich die Summe vor das Integral ziehen, warum ist das so. gibts da einen beweis dafür? ich finde in google nix

    Hoffe die erklärung reicht, wolfram alpha will mich das nicht darstellen lassen...

    Gruss, FuuFuu
     
  2. 5. April 2012
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    Hey,

    da ein Summenzeichen in dem Fall denke ich nur Zahlen enhält, bzw eine representiert.
    Und bei der Integration kann man konstante Faktoren davor ziehen...
     
  3. 5. April 2012
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    Das beweist du am induktiv (wenn es eine endliche Summes ist!) einfach, indem du
    S f(x) + g(x) dx = S f(x) dx + S g(x) dx
    benutzt.
    Der Beweis davon ist aber schwerer und benötigt die Konvergenz zweier Folgen von Treppenfunktionen fn und gn . Jedenfalls kenn ich nur diesen Beweis
     
  4. 5. April 2012
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    Kannst du mal ein Beispiel aufführen? Falls du Word 2010 hast probier das mal mit dem Formeleditor. Dann schau ich mir das nochmal an.
     
  5. 6. April 2012
    Zuletzt von einem Moderator bearbeitet: 14. April 2017
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    Bild
    hab nur open office, daher hab ich mal einfach ein bild von meiner formel gemacht

    ich hab hier ein skalarprodukt zweier funktionen, wobei eine funktion eine standart e-funktion ist und die andere eine reihe von e-funktion mit koeffizienten c_n

    das skalarprodukt wird ja als integral definiert und anscheinend kann man dann die summe + den koeffizienten herausziehen. der koeffizient ist klar dass das geht, aber bei der summe verstehe ich es nicht.
    Danke schonmal an alle antworten, könnte es mir einer anhand dieses beispiels zeigen?

    Gruss, FuuFuu

    Falls du dir den code selber anschauen möchtest:

    Spoiler
    left langle t rightarrow e^(2 %pi i m t) , t rightarrow sum from{n=-infinity} to{infinity}c_n e^(2 %pi i n t) right rangle = sum from{n=-infinity} to{infinity}c_n left langle t rightarrow e^(2 %pi i m t) , t rightarrow e^(2 %pi i n t) right rangle
     
  6. 6. April 2012
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    Sieht doch wesentlich komplizierter aus als ich dachte. Was mich wundert ist aber das Unendlich. Ich weiß nicht ob es dir hilft, aber im Grunde ist ein Integral ja auch eine Summe. Hast du denn irgendwas zu Integralen in Integralen?
    Die Darstellung ist halt merkwürdig, ich kenne es sosnt nur mit dem S aber ich nehme an die eckigen Klammern sind die Integralzeichen.
     
  7. 6. April 2012
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    Ich seh da kein Problem. Du weißt wann du Integral und grenzwertbildung (limes) vertauschen darfst? Genau, wenn deine Funktionen Folge gleichmäßig konvergent ist. Ein Korrolar ist dazu, dass du in diesem Fall auch eine Reihe mit den entsprechenden Folgengliedern mit der Integration vertauschen darfst. (könntest ja summe von n-1 bis n schreiben, und dann lim n->infinity und dann den Limes rausziehn...)

    Da deine Folgengleider aus efunktionen bestehen ist das also alles legitim.

    @Nees, die Eckigenklammern stellen meistens ein Skalarprodukt für Funktionen dar. Eben über Integral definitert.
     
  8. 6. April 2012
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    Hey
    Du scheinst da was nicht so ganz verstanden zu haben, ein Skalarprodukt ist etwas anderes als ein Integral, auch wenn manche Skalarprodukte über Integrale definiert werden.
    Die Summe darfst du in deinem Beispiel rausziehen, weil das eben aus der Definition eines Skalarproduktes folgt <a,b+c>=<a,b>+<a,c> bzw <a+b,c>=<a,c>+<b,c>
    Bilinearform – Wikipedia


    Ein Integral tauscht mit endlichen Summen, jedoch im Allgemeinen nicht mit unendlichen. Das Kriterium dazu hab ich gerade nicht mehr ganz im Kopf, aber wenn dich das doch interessiert könnte ich mal nachgucken.
     
  9. 6. April 2012
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    Danke für die Antworten!

    Ich schreibe gerade eine Facharbeit und hätte eben gerne den Beweis gebracht, warum es in diesem Fall funktioniert. In meinen Büchern wird immer nur gesagt dass es geht, aber nicht warum.

    Ich verstehe nicht ganz, was meine Summe mit dieser Vorraussetzung zu tun hat

    <a,b+c>=<a,b>+<a,c> bzw <a+b,c>=<a,c>+<b,c>

    Gruss, FUuFuu
     
  10. 6. April 2012
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    Also: zunächst erfüllt jedes Skalarprodukt diese Anforderung und durch wiederholtes benutzen dieser Regel lässt sich die Summe halt tauschen.
    Für dein Beispiel (ich schreib jetzt mal nur e^x und e^n für die 2 e-Funktionen und ignoriere die c_n)

    <e^x,Summe(e^n)> ist ja nur eine Schreibweise für <e^x, e^1+e^2+e^3 + ... >
    jetzt wenden wir unsere regel an
    <e^x, e^1+e^2+e^3 + ... >
    = <e^x, e^1+(e^2+e^3 + ...)>
    = <e^x,e^1> + <e^x, e^2+e^3+...>

    Das machen wir qausi "immer wieder".
    und dann haben wir <e^x,x^1>+<e^x,e^2>+<e^x,e^3>+...
    und damit haben wir ja schon Summe<e^x,e^n>

    Ich seh gerade dass du ne Summe von -unendlich bis +unendlich hast, aber die lässt sich ja ebenso aufschreiben, dann haste da halt e^0+e^1+e^-1 + ...
     
  11. 6. April 2012
    AW: [Mathe] Summenzeichen aus Integralen rausziehen

    okay danke habs verstanden wird gleich dazu geschrieben!

    Gruss, FuuFuu

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