#1 4. November 2010 Hi, ich hab da mal eine Frage weil ich in einer Aufgabe nicht weiter komme und über google nichts schlaues finde: Aufgabe: Beweisen Sie mittels eines Wiederspruchsbeweises, dass wurzel(63) keine rationale Zahl ist, d.h. nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Meine erste Idee: (a=m/n vorausgesetzt m/n liegt in gekürzter Form vor) a² = 63 (m/n)²= 63 m²= 63*n² und jetzt weiß ich nicht weiter... eine andere Idee wäre Primfaktorzerlegung jedoch weiß ich dort auch nicht mehr weiter: 63 = 9*7 wurzel(63) = 3* wurzel(7) kann mir vllt. einer helfen ? so far sun
#2 4. November 2010 AW: Mathe Wiederspruchsbeweis Das hat schon Euklid bewiesen, eine Verallgemeinerung steht auch schon bei Wikipedia: Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid – Wikipedia Du musst da natürlich k = 2 betrachten. Meiner Meinung nach ist es wichtig auch mal etwas "formaler" aufgeschrieben Beweise selbst zu verstehen. Also probier dich schon mal daran entlang zu hangeln, weil du warst absolut auf dem richtigen Weg: du musst eben nur BEIDE Ideen verbinden!
#3 4. November 2010 AW: Mathe Wiederspruchsbeweis ich bin erstmal kein mathe genie aber erstmal : sollte das nicht eher : m² = 63²*n sein? ich denke jedenfalls 63*63*n != 63*n*n . und ansonsten hast du ja die lösung bereits im matheforum ;-)
#4 4. November 2010 AW: Mathe Wiederspruchsbeweis du setzt ja für a (m/n) ein also steht da: (m/n)² = 63 anders geschrieben m²/n² =63 n bringst du auf die andere seite : m² = 63*n² wenn ich das jetzt mal anwende: m² = (9*7)*n² aber ich komm damit immer noch nicht weiter. Hast vllt. noch eine Tipp oder sowas oder eine andere erklärung ? so far sun
#5 5. November 2010 AW: Mathe Widerspruchsbeweis Hm.. also mal ganz dumm: Hat die Wurzel aus 63 eine Dezimaldarstellung, welche weder abbricht noch periodisch ist, so ist sie nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar, also eine irrationale Zahl Jetzt brauchst nur noch einen Taschenrechner, der genug Nachkommastellen darstellt, bzw. dir "mitteilt", dass diese unendlich fortlaufen, und du hast deinen Beweiß?! mfG Milchmann
#6 5. November 2010 AW: Mathe Widerspruchsbeweis ne es geht ja darum das ganze Ohne taschenrechner und nur durch mathematischen beweis zu begründen.
#7 6. November 2010 AW: Mathe Widerspruchsbeweis OK, dann versuchen wir mal weiter darauf einzugehen, also wir sind schon mal soweit: m² = 3² * 7 * n² d.h. m² ist durch 7 teilbar, damit ist auch m durch 7 teilbar, also können wir m schreiben als: m = 7*k. Setzen wir mal ein: (7k)² = 3² * 7 * n² <=> 7² * k² = 3² * 7 * n² [durch 7 teilen] 7 * k² = 3² * n² <=> 7 * k² * (1/3)² = n² d.h. schon wieder für uns, dass n² durch 7 teilbar ist, also auch wieder n. Da nun aber n UND m durch 7 teilbar sind, könnte der Bruch noch gekürzt werden, was allerdings unserer Annahme widerspricht & schon ist dein Widerspruchsbeweis geschafft. Verstanden?